.
Puntos y Líneas Fundamentales del Triángulo

1. MEDIANA.- Es el segmento que tiene por extremos un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto.
Cualquier triángulo tendrá 3 medianas: AP, BQ y CR, ó ma, mb, mc, respectivamente.

external image mediana.jpg
El triángulo PQR, formado, uniendo los puntos medios de los lados del ABC, se conoce como triángulo mediano o complementario. Las 3 medianas de un triángulo se intersecan en un único punto G llamado BARICENTRO que es el punto de cruce de las medianas y es el centro de gravedad del triángulo.


2. BISECTRIZ INTERNA.- Es la línea que partiendo del vértice divide a un ángulo en 2 iguales.
Existen 3 bisectrices internas: AD, BE y CF, ó VA, Vb, Vc, respectivamente.
external image bisectrizinterna.jpg
El INCENTRO (G), es el punto de cruce de las bisectrices y además es el centro del círculo inscrito.
El punto * esta ubicado siempre en la parte interior de cualquier triángulo.

3. ALTURA.- Es la perpendicular trazada desde un vértice hacia el lado opuesto o a su prolongación.
Cualquier triángulo tiene alturas: AL, BM, CN ó ha, hb, hc, respectivamente.
external image altura.jpg
El LMN, formado uniendo los pies de las alturas, se denominan triángulo órtico o pedal.
Las alturas se intersecan en un único punto H llamado ORTOCENTRO, punto que está ubicado al interior del triángulo si este es acutángulo y en el exterior del mismo si este es obtusángulo, es este caso el ortocentro se determina prolongando las alturas.
external image ortocentro.jpg
4. BASE.- Es cualquier lado de un triángulo, por lo tanto todo triángulo tiene 3 bases. En el caso del triángulo isósceles se acostumbra llamar base al lado congruente.


5. MEDIATRIZ.- Es la recta perpendicular levantada en el punto medio de un lado cualquiera del triángulo, por lo tanto tiene 3 mediatrices: PO, QO y RO
external image mediatriz.jpg
Las 3 mediatrices se intersecan en un único punto O llamado CIRCUNCENTRO, que se encontrará dentro del triángulo si es acutángulo y fuera de él si es obtusángulo. Además el circuncentro equidista de los vértices y es el centro del círculo circunscrito.
external image circuncentro.jpg
6. BISECTRIZ EXTERNA DE UN TRIÁNGULO.- Es el segmento que tiene por extremos un vértice cualquiera del triángulo y el punto de intersección de la bisectriz de ese ángulo externo con la prolongación del correspondiente lado opuesto.
Según el postulado del paralelismo se tiene que, los triángulos: escálenos tienen 3 bisectrices externas; los isósceles tienen 2 bisectrices externas y los equiláteros no tienen bisectrices externas.
external image bisectrizexterna.jpg
EXCENTROS son los puntos de intersección de 2 bisectrices de ángulos externos que se encuentran en un mismo semiplano respecto a un lado de un triángulo y la bisectriz del ángulo interno opuesto a dicho lado. Son excentros Oa, Ob, Oc.
Uniendo los OaObOc llamado triánguloDABC se obtiene el Dpuntos Oa, Ob, Oc, excentros de un exicentral.

external image excentros.jpg

TEOREMAS
Teorema I

En toda clase de triángulos la suma de sus ángulos es igual a 180º
Fórmula
mA+mB+mC=180º

Teorema II

En un ángulo formado por dos bisectrices internas de un triangulo es igual a 90º más la mitad del ángulo no bisecado
Fórmula:
X=90º+B/2

Teorema III

El ángulo formado por dos bisectrices externas de un triángulo es igual a 90º disminuido en la mitad del ángulo interno en el tercer vértice
Fórmula:
X=90-A/2

Teorema IV

El ángulo formado por las bisectrices internas y externas de vértices diferentes de un triángulo es igual a la mitad de la medida del ángulo interno en el tercer vértice
Fórmula:
X=mB/2

Teorema V

El ángulo formado por las bisectrices internas y la altura del mismo vértice de un triángulo es igual a la semidiferencia de las medianas de los ángulos internos en los otros dos vértices
Fórmula:
X= A-C/2

Teorema VI

La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a 360º
Fórmula:

A+B+C+D=360º

Propiedades de un triangulo isósceles y equilátero
Teorema # 1
Si dos lados de un mismo triangulo son congruentes entre si, los ángulos opuestos a dichos lados también son congruentes.
COROLARIOS

· Los ángulos en la base de un triangulo isósceles, son congruentes.
· Si dos lados de un triangulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son también congruentes.
· Si un triangulo tiene dos ángulos externos congruente, el triangulo es isósceles
· La bisectriz relativa a la base de un triangulo isósceles, es también media, altura y mediatriz de dicho triangulo y recíprocamente u8n triangulo en el cual una bisectriz es también mediana, altura y mediatriz es triangulo isósceles.
· Todo triangulo equilátero es equiángulo y todo triangulo equiángulo es equilátero.

Teorema # 2
Un triangulo isósceles tiene dos bisectrices congruentes, dos medianas congruentes y dos alturas congruentes, igual para las medianas y alturas
COROLARIO
En un triangulo equilátero las bisectrices, medianas, alturas y mediatrices de los tres vértices son congruentes. El incentro, baricentro, ortocentro y circuncentro coinciden en un mismo punto.